数学 抽象代数
应该是证明: 存在G到F的满同态, 当且仅当m | n.
G = 作为n阶循环群, 其中的元素可表示为a^i, 0 ≤ i < n.
充分性: 若m | n, 可设n = mk.
定义映射φ: G → F, φ(a^i) = b^i, 0 ≤ i < n.
由F = 是m阶循环群, 其中元素可表示为b^i, 0 ≤ i < m.
而由m | n, 有m ≤ n, 因此φ是满射.
以下验证φ是一个同态: 对任意0 ≤ i, j < n, φ(a^i)φ(a^j) = b^i·b^j = b^(i+j).
当i+j < n, 有φ(a^(i+j)) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
当i+j ≥ n, 有0 ≤ i+j-n < n, 而a^(i+j) = a^(i+j-n)·a^n = a^(i+j-n).
故φ(a^(i+j)) = φ(a^(i+j-n)) = b^(i+j-n) = b^(i+j)·b^(-mk) = b^(i+j)·(b^m)^(-k) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
因此φ: G → F是一个满同态.
即当m | n时, 存在G到F的满同态.
必要性: 假设存在满同态φ: G → F.
由同态基本定理, F = im(φ) ≌ G/ker(φ).
作为有限群有m = |F| = |G|/|ker(φ)| = n/|ker(φ)|.
故m | n.
任意两个群之间都存在零同态.
而有限循环群之间存在非零同态的充要条件是m, n不互质.
抽象代数与高等（线性）代数的联系？
这二者并没有必然的联系，当然某种程度上可以认为线性代数是抽象代数的特例。
我一直认为，数学专业不必先学线性代数再学抽象代数，然而国内高校并非如此，但欧美高校都是如此。
简单介绍一下，代数学就是研究各种代数系统的一门学科。
线性代数是依托线性空间以及其中的线性变换，而线性空间其实一个二元集合上所定义的，要数域P和向量集合V，其中定义了数乘和加法，加以八条性质得到一个线性空间。
而作为抽象代数学最基本的代数结构的群，他实际上是仅仅在一个集合S上定义了一种运算，我们一般称之为加法，满足几条性质得到群。 即使是之后的环和域，不仅有加法，还有乘法，也都是定义在一个集合上面的。
由此不难看出线性代数与抽象代数的区别。
为什么又说线性代数是抽象代数的特例了，如果要想用抽象代数的观点将线性代数的知识解释清楚的话，则必须要用到“模”的概念，即所谓的模语言。 模其实是线性空间理论在群环域上的自然延伸，将线性空间定义中的属于P换做一个环，而将向量集合S换做一个Abel群。自从女数学家诺特提出了模的概念，利用它不难将线性代数的所有问题解释清楚。
当然模和线性空间也是有区别的，举个最简单的例子，模一般是没有基的，而线性空间并非如此。
大概介绍这么多了……
总之本科阶段的抽象代数要想将线性代数联系在一次是比较困难的一件事，必须要涉及模语言。
