采样定理
在数字信号处理领域，采样定理是连续时间信号（模拟信号）与离散时间信号（数字信号）之间的基本桥梁。 采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。 定理： A/D转换器中，奈奎斯特定理规定采样速率必须至少是模拟信号带宽最大值的两倍，以便完全恢复信号。 适用条件： 定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。 混叠： 如果不能满足采样定理，采样后信号的频率就会重叠，即采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号，这种频率的重叠导致的失真称为混叠。 采样（信号离散化）： 采样器由电子开关组成，开关每隔Ts秒短暂闭合一次。连通连续信号，实现一次采样。 2.原始信号频谱 满足条件： 主要是考虑到抗混叠滤波器设计指标。 这个和滤波器的设计有关。 参考： 采样定理的证明与推导 采样定理总结
什么是香农采样定理
香农采样定理：香农采样定理又称采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。定理解释1、采样：指的是理想采样, 即直接记录信号在某时间点的精确取值，所以采样定理只涉及到了从连续信号到离散信号的理想采样过程, 而未涉及到对测量值的量化过程。2、采样频率：指单位时间内的采样点数, 采样是一种周期性的操作, 非周期性采样不在采样定理的范围之内。3、带宽：是一个信号的一种频域参数，常指信号所占据的频带宽度，简单的说是信号的能量集中的频率范围。至于多少百分比的信号能量集中的范围视为带宽，要根据不同的实际需要了。判断的标准就是，在某个频率范围内的信号频谱已经基本提供了我们需要的信息，那么这个频率范围外的信号频谱就变得可有可无。这个频率范围就是带宽。根据采样定理，最低采样频率必须是信号频率的两倍。反过来说，如果给定了采样频率，那么能够正确显示信号而不发生畸变的最大频率叫做恩奎斯特频率，它是采样频率的一半。如果信号中包含频率高于奈奎斯特频率的成分，信号将在直流和恩奎斯特频率之间畸变。
采样定理的推导过程
1.采样定理当我们对连续信号x\left( t \right) 进行理想抽样时，抽样信号x_{i} 为：x_{i} =\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{x} \left( t\right) \delta \left( t-nT \right) 假设X\left( jw \right) 、P\left( jw \right) 分别是x\left( t\right) 、\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 的傅里叶变换，由1.4小节所述，可得抽样信号的傅里叶变换X_{i} \left( jw \right) 为：X_{i} \left( jw \right) =\frac{1}{2\Pi } \int_{-\infty }^{+\infty } X\left( j\theta \right) P\left( jw-j\theta \right) d\theta可化简为：X_{i} \left( jw \right) =\frac{1}{2\Pi } X\left( jw \right) \ast P\left( jw \right) \left( 2.1 \right) 现在让我们先缓一缓，求解一下\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 的傅里叶变换P\left( jw \right) ！因为\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 是周期信号，如果要求它的频谱，首先得把它的傅里叶级数a_{k} 求得，然后根据1.3小节所述的关系式再求出P\left( jw \right) 。首先，求出a_{k} ：a_{k}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}} \sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) e^{-jk\frac{2\Pi }{T}t } dt=\frac{1}{T} 将a_{k} 带入1.3小节所述的关系式，可得：P\left( jw \right) =\frac{2\Pi}{T} \sum_{k=-\infty }^{+\infty} \delta \left( w-kw_{o} \right) 一个信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，因此，可得：X_{i} \left( jw \right) =\frac{1}{2\Pi } X\left( jw \right) \ast P\left( jw \right) =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{X\left( j\left(w-kw_{o} \right) \right) } 即可推理出:采样信号的频谱等同于原信号的频谱进行周期延拓！总结：整个过程可以概括为，求出\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 的傅里叶级数a_{k} 后，求出冲激串的频谱P\left( jw \right) ，原信号与冲激串两者频谱进行卷积，便得到抽样信号的频谱！可以概括为两步：求冲激串频谱，与原信号卷积！
采样定理的内容
在数字信号处理领域，采样定理是连续时间信号（模拟信号）与离散时间信号（数字信号）之间的基本桥梁。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。定理： A/D转换器中，奈奎斯特定理规定采样速率必须至少是模拟信号带宽最大值的两倍，以便完全恢复信号。适用条件： 定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。混叠： 如果不能满足采样定理，采样后信号的频率就会重叠，即采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号，这种频率的重叠导致的失真称为混叠。采样（信号离散化）： 采样器由电子开关组成，开关每隔Ts秒短暂闭合一次。连通连续信号，实现一次采样。
什么是采样定理
采样定理是在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍。如果对信号的其它约束是已知的，则当不满足采样率标准时，完美重建仍然是可能的。 在某些情况下（当不满足采样率标准时），利用附加的约束允许近似重建。 这些重建的保真度可以使用Bochner定理来验证和量化。采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。扩展资料1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/(2F)，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。 这是时域采样定理的一种表述方式。时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/(2fM)的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥(2fM)。参考资料来源：百度百科-采样定理
简述香农采样定理
香农采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式：理想低通信道的最高大码元传输速率B=2W，信息传输速率C=B*log2N 。（其中W是理想低通信道的带宽，N是电平强度）采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农 与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
奈奎斯特定律和香农定理
(一) 波特率和比特率
1、波特率指的是信号每秒钟电平变化的次数，单位是Hz：比如一个信号在一秒钟内电平发生了365次变化，那么这个信号的波特率就是365Hz；
2、比特率是信号每秒钟传输的数据的位数，我们知道在计算机中，数据都是用0，1表示的，所以比特率也就是每秒钟传输0和1的个数，单位是bps（bit per second）。
3、那么这两者啥关系呢？我们可以假设一个信号只有两个电平，那么这个时候可以把低电平理解为“0”，高电平理解为“1”，这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0，1个数了，即比特率 = 波特率。但是有些信号可能不止两个电平，比如一个四电平的信号，那么每个电平就可以被理解成“00”，“01”，“10”，“11”，这样每次电平变化就能传输两位的数据了，即比特率 = 2 ×波特率。一般的，bit
rate = buad rate × log2L，这里L就是信号电平的个数。
（二）奈奎斯特（理想状况下，无噪声）
奈奎斯特公式：表示一个有线宽带的无噪声信道的最大数据传输率
Cmax=2B*log2V（bps）
B：带宽{? 模拟带宽hz? 数字带宽bps} 信号在最高和最低信号频率中通过，最高信号频率和最低信号频率的差值就叫做带宽。
【关于带宽的题目】
现要在光纤上传输一系列计算机屏幕的图像，屏幕是1920×1200 像素，每个像素有 24 位，每秒钟产生 50屏图像，试求需要多少带宽？
?答：所需要的带宽=1920×1200×24×50=2.765Gbps
V：离散等级（个人理解是比特率）
例题1：
例题2：
一个8kHz 的无噪声信道每毫秒采样1 次，最大数据率是多少？?
答：根据奈奎斯特公式，带宽固定，采样频率固定，最大数据率取决于电平级数 L。 每秒采样 1000 次，若每次采样产生 16 位数据，则最大数据率为 16kbps; 若每次采样产生 1024位，则最大数据率约为 1.024Mbps。
（未理解）
例题3：
奈奎斯特定理只适合铜线，还是同样适用于高质量单模光纤？?
答：奈奎斯特定理是一个数学性质，和具体技术无关。其含义是：如果一个函数的傅里叶频 谱不包含频率在 f 之上的正弦和余弦分量，以频率 2f 对该函数采样，就可以获得全部信息。 因此，奈奎斯特定理适用于任何传输媒体。
（三）香农定理
容量：信道中最高的比特率
信道的极限传输速率（信道的最大容量）Cmax
Cmax=Blog2(1+S/N)
S/N:信噪比? 信号功率S? 噪声功率N
例题1：
在信噪比为 20dB 的3kHz 信道上发送二进制信号，最大数据率是多少？
?答：看到db立刻想到换算：10log10（S/N）=20db? 故S/N=100
按照香农公式，S/N=100，可计算出最大数据率是19.975kbps。 而按照奈奎斯特公式，计算出最大数据率为6kbps。 因此，最大数据率为 6kbps。
例题2：
二进制信号在信号在信噪比为127：1的4kHz的信道上传输，最大的数据率可以达到：
A. 28000b/s
B. 8000b/s
C. 4000b/s
D. 可以无限大
分析：看到信噪比，马上上手就可以计算得到：
速率 = 4klog2(1+127)=4k?7=28kbps=28000b/s4klog2(1+127)=4k?7=28kbps=28000b/s
先别急着选，要想二进制信号就是说直接用的是一位编码表示2个状态，就是V = 2时，可以计算奈奎斯特。
速率 = 2?4k?log22=8000b/s2?4k?log22=8000b/s
这样就很有意思了。奈奎斯特得到的比香农小，二者取较小的。
例题3：
若连接R2和R3链路的频率带宽为8Hz,信噪比为30dB,该链路的实际传输速率约为理论最大值的50%，则该链路的实际传输速率约为：C
A. 8kbps
B. 20kbps
C. 40kbps
D. 80kbps
分析：看到dB，马上想到要换算。
10log10(S/N)=30
→S/N=1000→S/N=1000
由此得到信道的极限速率 = 8k?log21000=80kbps
因为实际是这个一半，因此得到的是40kbps.
如果直接代入的是30，得到极限速率是40kbps,再取一半，结果是20kbps，感觉很像，实际上是错误的。
【例题4】
要使用多大的信噪比才能在 100kHz 的线路上传输 T1 信号？
?答：根据香农公式，有Hlog2(1+S/N)=1.544×106 ，其中H=100,000 可算出 S/N=215-1，即大约46dB
理解：已知T1信号的数据传输率为1.544*10的6次方，记住。
乃奎斯特准则和香农定理
奈奎斯特公式你少了关键参数
一、奈奎斯特公式:
用于理想低通信道
二、香农公式:
非理想信道，有限带宽高斯噪声干扰信
两个本身就是不同一件事，无法比较，奈奎斯特公式C
=
2B×log2
(M)
，式中：C
=
数据传输率，单位bit/s（bps），B
=
带宽，单位Hz，M
=
信号编码级数，奈奎斯特公式并没有对信息传输速率（b/s）给出限制。要提高信息传输速率就必须使每一个传输的码元能够代表许多个比特的信息。这就需要有很好的编码技术，若M=32，速度便可以大过有噪声时。
详细请看参考资料
奈奎斯特采样定理是什么？
奈奎斯特采样定理：要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率应大于2倍信号最高频率。抽样频率小于2倍频谱最高频率时，信号的频谱有混叠。抽样频率大于2倍频谱最高频率时，信号的频谱无混叠。奈奎斯特采样定理的另一种表达方法是：每赫兹带宽的理想低通信道的最高码元传输速率是每秒2个码元。若码元的传输速率超过了奈氏准则所给出的数值，则将出现码元之间的互相干扰，以致在接收端就无法正确判定码元是1还是0。奈奎斯特采样定理的作用将模拟信号通过抽样转化为数字信号。包括时域抽样定理和频域抽样定理只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。
奈奎斯特采样定理是什么？
连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零。离散时间傅里叶变换（泊松求和公式的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。（参见下文非基带信号采样，以及压缩感知。）非均匀采样香农的采样定理可以延伸到非均匀采样，也就是采样的时间间隔非一定值。非均匀采样的采样定理指出针对band-limited的信号，只要平均采样频率满足奈奎斯特条件，就可以从采样信号完整重建原始信号。因此虽然均匀采样在信号重建的算法上比较简单，但这不是完整重建的必要条件。非基带及非均匀采样的泛用理论是在1967年由亨利·蓝道提出。简单的说，蓝道证明了平均采样率至少需要是信号占据带宽的二倍，但前提是已知信号的频谱及其占据的带宽。 在1990年代末期，此研究已延伸到信号占据带宽的数量已知，但实际在频谱上位置未知的情形。在2000年代已利用压缩感知发展了一个完整的理论。此理论用信号处理的语言写成，在2009年的论文中发表。论文中证明，若频率的位置未知，则采样率需至少为奈奎斯特准则的二倍。换句话说，因为不知道光学频谱的位置，需要将采样率乘二为代价。注意此最小采样率的要求不一定保证其数值稳定性。
香农采样定理的概念
采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农 与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。时域采样定理 频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。图为模拟信号和采样样本的示意图。时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。频域采样定理 对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这些采样点的频率间隔ω≦π / tm 。
香农采样定理的应用
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。 时域采样定理 频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。 时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。图为模拟信号和采样样本的示意图。 时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。 频域采样定理 对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T 时,f(t)=0,这里T =T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这些采样点的频率间隔。 参考书目 刘文生、李锦林编：《取样技术原理与应用》，科学，北京，1981。
采样定理 信号与系统
问题一 第21页关于xa(jw)的分段公式从何得来？答：其中Xa(jw)是对xa(t)实际频谱的假设。问题二 为何采样后的频谱只取且必须要取W轴正半轴上部分的参看20页21页的频谱图？如果根据21页的分段公式xa(jw)=xa(jw)，那么21页上频谱在负半轴的部分也该取，而22页的频谱超过ws的部分就不用取了才对。答：谁说的“采样后的频谱只取且必须要取W轴正半轴上部分的”？图上负半轴只是略画了而已，正如你所理解的，负半轴和正半轴的周期延拓性是一样的。
